喪中の取引先に御歳暮を贈っても大丈夫ですか？

大丈夫です。
お歳暮はお祝い事ではなく日頃のお付き合いに対する感謝の気持ちですので贈っても構いません。
(その場合熨斗は白短冊にした方がいいかもしれません。）
ただし四十九日を過ぎていない場合は時期を少しずらし、表書きも「御歳暮」にしないで「寒中御見舞」などにした方がいいと思います。

駄目だとは云いませんが、先方も大事な人を亡くし、悲しみに沈んでいるでしょうね、きっと故人の冥福を祈りながら喪に服しているのでしょう、そこにお歳暮が一つならともかく、皆が贈ったらどうでしょう、
御礼状だの電話だの・・・私なら送りませんけれどね、お悔みの手紙に来年は良い年になりますようと一言添えます。